Das Leiterproblem

Problemstellung:

Eine Leiter der Länge 10m werde so an einen Würfel der Kantenlänge 1m angelehnt, dass die Leiter an der Hauswand, vor der der Würfel steht, aufliegt. In welcher Höhe liegt die Leiter auf und welchen Abstand hat ihr Fuß von der Wand? Ein Bild ersetzt 1000 Worte, daher nun eine 2-dimensionale Darstellung:

Verdeutlichung anhand einer Skizze:

Irgendwie sieht dieser Sachverhalt so popelig aus. Pythagoras und fertig, aber ganz so einfach ist es nun doch nicht ....

Es gelten nun folgende Aussagen:

• Die Punkte (0|b), A (1|1) und (a|0) liegen auf einer Geraden.
• Diese Gerade hat – wie man direkt am Steigungsdreieck der eben genannten Punkte sehen kann – eine Steigung von .
• Auch der y-Achsenabschnitt lässt sich sofort ablesen, es ist b.
• Somit genügen die Punkte der Leiter der folgenden Geradengleichung:

Außerdem sollen für a und b offenbar folgende Bedingungen gelten:

(*) 

(**) (wegen Pythagoras)

Berechnung von a und b:

, weil A auf dem Graphen von f liegt.

(Wegen (*) kann ich bedenkenlos mit a multiplizieren und durch a-1 dividieren.)

Das setzen wir nun in (**) ein: .

Diese Gleichung führt auf folgende Gleichung vierten Grades:

-

Zwar hat diese Gleichung vier reelle Lösungen, aber nur 2 davon genügen der Bedingung (*):

Die Symmetrie war ja in der Tat zu erwarten, es scheint alles richtig zu sein.

Entweder liegt die Leiter also in 1,11.... m Höhe an der Wand auf und ihr Fuß steht 9,93... m von der Wand entfernt oder entsprechend umgekehrt.