Kleines Primzahlenrätsel

Bestimme diejenigen Primzahlen p, so daß 2p+1 eine Kubikzahl ist!

Überraschendes Ergebnis: Es gibt nur eine Lösung!

Sei nämlich 2p+1 = n³ für eine natürliche Zahl n und eine Primzahl p.

<=> 2p = n³-1 = (n-1)(n²+n+1)

Fallunterscheidung:

Fall 1: n - 1 = 1 und n² + n + 1 ist von der Gestalt 2p. Aber n - 1 = 1 bedeutet n = 2, und 2² + 2 + 1 = 7 ...Fällt also aus wegen Ist-nicht.

Fall 2: n² + n + 1 = 1 und n - 1 ist von der Gestalt 2p. n² + n + 1 = 1 bedeutet n = 0 oder n = -1, beides ist sinnlos.

Fall 3: n - 1 ist eine Primzahl und n² + n + 1 = 2. Die rechte Seite liefert n_1/2 = -0,5 +/- sqrt(0,25+1), mitnichten natürliche Zahlen....

Fall 4: n - 1 = 2 und n² + n + 1 eine Primzahl. Also n = 3, und 3² + 3 + 1 = 13 ist eine Primzahl!!!!

Fall 4 ist die einzige mögliche Lösung.